手机版 | 登陆 | 注册 | 留言 | 设首页 | 加收藏
当前位置: 网站首页 > 大美数学 > 文章

对判别式法的再认识

时间:2018-01-16    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

判别式法求函数值域是中学数学的常用方法,那它的理论依据是:

1)函数式是一种特殊的二元方程式(y能用x的解析式表示,从而每一个x值对应于唯一的函数值y),但方程式不一定是函数式,如.

2)由函数的定义可知:在函数所确定的映射下,每一个函数值y在定义域上至少有一个自变量x与之对应.反过来,若某一实数y在定义域上有自变量x值与之对应,则此实数一定是值域中的元素.

3)判别式大于等于零是一元二次方程在实数集R上有解的充要条件.

1中,将原函数式变为方程(1)是方程的等价变形,即两式中的x,y的取值范围完全相同.由每一函数值都有自变量与之对应,可知方程(1)中的y若是值域中的元素,必使关于x的方程有解;又因为使关于x的方程有解的实数y也一定是值域中的元素.综上,y是值域中的元素的充要条件是:使关于x的方程(1)在定义域R上有解.

我们用判别式法求函数值域是可行的,但是很少有学生真正理解这些原理,只是机械死板的在重复某些步骤,甚至出现错误。同时它也不是唯一的较好方法。我们往往可以用其它方法灵活、巧妙地求解。

1 求函数y=的值域。

错解: y=, yx2+yx+6y=x2+x-1,

(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ①     

因为方程①是关于x的二次方程,它有实根的充要条件是

=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0,

即(y-1)(23y+5) 0,  解得,

∴原函数的值域为{y|  }.

剖析事实上,当y-1=0,即y=1时,方程①不再是关于x的二次方程了,就不能再用判别式了。

正解 y=,  (y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ①     

 

当y-1=0,即y=1时,方程①7=0,不成立,故y≠1;

当y-10,即y1时,=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0,

 

即(y-1)(23y+5) 0,解得,

综上,得原函数的值域为{y|  }.

另解:

   

这种解法只用到不等式的性质就可以解决问题,不仅简洁、严谨而且不容易出错。

2.求函数的值域

判别式法:解:

是实数,方程③有实数解的充要条件是≥0,即

  ④

注意到条件①仅是②的充分条件,只有,即

条件下才有

所以取④⑤的公共部分,得 ,则的值域为

另法:  

        

       

的值域为

此题采用换元法,简单、直接且容易理解。

3.求函数的值域。

判别式法:

[设,则有]    ①

Z1Z2为方程①之两根,且Z1Z2同负,则其充要条件是:

    即

但由假设为实数,故Z不为负,设Z1Z2同负得到的,应予排除,故的值域应在≥0时的中排除,故的值域是

另法:  

    

的值域为

以上解法,易见解法简捷、严密,判别式法中,若不注意,是充分但不必要条件,运用如下解法:

上面方程有实数解的条件是≥0,即

,则可为一切实数,这就错了。

这时方程虽然有解,但不能保证有解,从而不能保证等式值的存在。

4.求函数的值域

  解法(一)函数的定义域为,设,那么

  函数可化为:,即  ①

  ,故下面三种情况应予排除:

  Ⅰ)方程①的两根分别在两旁。令,则其充要条件为:

  

  Ⅱ)方程①的两根都小于0,其充要条件为:

  

  易知此不等式组无解。

  Ⅲ)方程①的两根都不大于1,其充要条件为:

  

  综上所述,的值域应在的解集中排除,故的值域是

  解法(二)同解法(一)可以得:

  ,二次函数的图象(抛物线开口向下),对称轴

  时,函数是增函数,

  函数的最大值为

    函数的最小值为的值域为

  解法(三),于是函数可化为:

  ,即

时,函数有最大值5,

时,函数最小值2。

函数值域为

由此题的几种解法得知,对于有些可用判别式法求值域的函数,如果采取其他方法可能更加灵活、巧妙、简捷。用换元法还要注意定义域的变化。总之解数学问题,思维方法要采用辩证法,具体问题要具体对待。

高中函数部分,有一道常见的值域逆向求解问题(即已知值域求表达式中字母的值),题目如下:

5 已知函数的值域为,求的值。

判别式法:首先确定函数的定义域为R,再将式子整理成为关于的方程:,当时,方程变为,进而,若,则,此时与值域为矛盾,故,相应地有解,即时必须。这一步是学生容易忽视的地方,且不易弄清楚;当时方程为一元二次方程,根据方程有实数解得:,即此关于的一元二次不等式的解为至此就是关于的一元二次方程的两个根,易求出。综上所述:

另法:原题等价于代数式取遍之间所有的值,一方面,恒成立,即恒成立。

记方程的判别式为

记方程的判别式为

对于来说一方面恒成立,故

另一方面要求至少存在一个使得,故,从而,同理

联立解得

这种方法可免去对二次项系数的讨论,这种方法处理此类题目很有效。

综上所述,在用判别式法求函数的值域时,由于变形过程中易出现不可逆的步骤,从而改变了函数得定义域或值域。因此,用判别式求函数值域时,变形过程必须等价,必须考虑原函数得定义域,判别式存在的前提,一是二次项前的系数必须不等于零,二是函数的定义域必须是R。并注意检验区间端点是否符合要求。在没有真正掌握此种方法的原理的时候,只是生搬硬套它的步骤,是很容易出错的,而且很多时候并不是很简单的方法。事实上我们完全可以找到更加简洁、严谨、容易理解的其它方法。

上一篇:没有了

下一篇:大美数学

沪公网安备 31011502006143号  | 沪ICP备 05006488号  |  QQ:156617  |
Copyright © 2018 天人文章管理系统 版权所有,授权gardener.sh.cn使用 Powered by 55TR.COM